次の式は,平面上の点(x,y)を,原点(0,0)を中心に角度θだけ回転させたときの点(X,Y)
の座標を表す式を行列表記したものである。点 P(2.0,-1.0)を,点 A(3.0,1.0)を中心に 40°回転
させたときの X,Y の組合せを計算せよ。

$$\begin{bmatrix}X \\ Y \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \cos{θ} & -\sin{θ} \\ \sin{θ} & \cos{θ}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$$

解答

 原点を中心に反時計回りに回転する式があるので、下図のように平行移動して計算した後、元に戻すことを考える。

Pの座標を平行移動すると、上図のようにP'(-1.0、-2.0)となる。これを上記の式を用いて40°回転させると

$$\begin{bmatrix}X \\ Y \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \cos{40°} & -\sin{40°} \\ \sin{40°} & \cos{40°}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1.0\\-2.0\end{bmatrix}$$

① X座標の計算

X=cos40°×(-1.0) + (-sin40°)×(-2.0)=0.76604×(-1.0)+(-0.64279)×(-2.0)=0.51954

② Y座標の計算

Y=sin40°×(-1.0)+ cos40° ×(-2.0)=0.64279×(-1.0)+ 0.76604 × (-2.0)=-2.17487

求めたX,Y座標を(3.0、1.0)方向へ平行移動すると

(0.51954+3.0、-2.17487+1.0)⇒(3.520、-1.175)(答)

H30年度 測量士 過去問解答

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