図は、境界点A、B、Cを順に直線で結ぶ境界線 ABC で区割りされた甲及び乙の土地を示しており、表 は、トータルステーションを用いて現地で角度及び距離を測定した結果である。
 甲及び乙の土地の面積を変えずに、境界線 AP で区割りして整正するためには、CP 間の距離を幾らにすればよいか。

測定結果
S1 55.000m
S2 36.000m
α 120°00′00″
β 135°00′00″

解答

 土地整形の問題である。甲、乙の面積が整形前・後で変わらないため、△ABC△APCの面積は等しくなる。それぞれの面積を求め、CPの長さを求める。ここでは、1.三角関数の性質から面積を求める方法、2.座標法から面積を方法を紹介する。

1. 三角関数の性質から面積を求める方法

① △ABCの面積を求める

 上図より、△ABCの面積を求める。

$$\frac{1}{2}\times{55}\times{36\sin{60°}}=495\sqrt{3}$$

② △APCの面積を求める

 上図のように補助線を引き、「AからCPへおろした垂線の長さ」を求める。上図より

$$36\sin{45°}+55\sin{75°}$$

 CP=Xとおき、△ACPの面積を表すと

$$\frac{1}{2}(36\sin{45°}+55\sin{75°})X$$

③ Xの値を求める。

△ABC=△ACPより、方程式を立て、Xを求める。ここで、sin45°=0.70711、sin75°=0.96593、\(\sqrt{3}\)=1.73205として計算する。

$$\frac{1}{2}(36\sin{45°}+55\sin{75°})X=495\sqrt{3}$$

上記を解いて、X=21.820…、選択肢の中で最も近い値は、21.822m(答)

2. 座標法を用いる方法

 下図にように、CPをX軸(P側を正の値)、CPに垂直な軸をY軸(A側を正の値)とする。C(0,0)、P(X,0)とおくと、A、Bの値は下記のように示される。

 以上の座標をもとに、座標法により△ACPの面積を求める。なお、△ABCは、三角形の面積の公式より、\(495\sqrt{3}\)と求めてよいが、あえて座標法で求める方法も示す。

 座標法は、下記の公式で表される。

$$S= \frac{1}{2}\times\sum_{i=1}^{n}X_i(Y_{i+1}-Y_{i-1})$$

①△ABCの面積

X座標 Y座標 Yi+1 - Yi-1 Xi(Yi+1 - Yi-1)
A -55cos75°+36cos45° 55sin75°+36sin45° 36sin45° 36sin45°(-55cos75°+36cos45°)
B 36cos45° 36sin45° -(55sin75°+36sin45°) -36cos45°(55sin75°+36sin45°)
C 0 0 55sin75° 0
      合計(1/2) -18×55×(sin45°cos75°+cos45°sin75°)

加法定理より、sin45°cos75°+cos45°sin75°=sin(45+75°)=sin120°より、△ABCの面積は、

$$-18\times{55}\times{\sin{120°}}=-495\sqrt{3}$$

-を取って、△ABCの面積は\(495\sqrt{3}\)。

②△ACPの面積

X座標 Y座標 Yi+1 - Yi-1 Xi(Yi+1 - Yi-1)
A -55cos75°+36cos45° 55sin75°+36sin45° 0 0
C 0 0 -(55sin75°+36sin45°) 0
P X 0 55sin75°+36sin45° X(55sin75°+36sin45°)
      合計(1/2) 1/2X(55sin75°+36sin45°)

①=②となり、1.で示した方程式と同じになる。これを計算してX=21.821…

よって、最も選択肢の中で近い値は、21.822m(答)

参考ページ

【測量士・測量士補 解説】三角関数(sinθ、cosθ)を感覚的に覚える方法。
【測量士補・測量士】これだけは覚えておきたい。三角関数の公式集。
【測量士・測量士補】座標法公式の導き方・考え方

R3年度 測量士 過去問解答

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2-C-12-C-42-D-2,35-A-35-B5-C-15-D-3,4

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