測量士補・測量士 過去問解答

【測量士補 過去問解答】令和5年(2023)No.3

 三角形ABCで∠ABCの角度を同じ条件で5回測定し、表の結果を得た。このとき、∠ABCの角度の最確値の標準偏差の値は、 である。

 また、表の測定値の最確値を∠ABCの角度とし、辺ABの辺長を3.0m、辺BCの辺長を8.0mとしたとき、辺CAの辺長は  である。

 上記、ア、イに入る数値を埋めよ。

測定値
59°59′57″
60°0′1″
59°59′59″
60°0′5″
59°59′58″

解答

① ∠ABCの最確値

 60°0′0″を基準に、±で最確値を求める。

$$\frac{-3+1-1+5-2}{5}=0$$

よって、最確値は60°0′0″となる。

② ∠ABC1回測定の標準偏差

 ∠ABC1回測定の標準偏差は、最確値と観測値を用いて求めるため、n-1で割る必要がある。

$$\sigma=\sqrt{\frac{(-3)^{2}+1^{2}+(-1)^{2}+5^{2}+(-2)^{2}}{5-1}}=2\sqrt{2}=2.8$$

 よって、∠ABC1回測定の標準偏差は、2.8″となる。

③ ∠ABCの最確値の標準偏差

 ∠ABCの最確値は、観測値li、観測回数nとすると、\(\frac{\Sigma{l_{i}}}{n}\)より、誤差伝搬の法則(※1)より

$$\sigma_{0}^{2}=n\times\frac{\sigma^{2}}{n^{2}}=\frac{\sigma^{2}}{n}$$

上記より、最確値の標準偏差は

$$\sigma_{0}=\sqrt{\frac{\Sigma{v_{i}}}{n(n-1)}}=\sqrt{\frac{(-3)^{2}+1^{2}+(-1)^{2}+5^{2}+(-2)^{2}}{5(5-1)}}=\sqrt{2}=1.4$$

以上より、最確値の標準偏差は、1.4″となる(ア 答え)

④ 辺CAの長さ

 余弦定理より、

$$CA^{2}=3^{2}+8^{2}-2\times{3}\times{8}\times\cos{60°}=49$$

よって、CAの長さは7.0mとなる(イ 答え)

※1 誤差伝搬の式(変数が一次式の場合)

$$Y=F(Xn)=a+ b_{1}X_{1}+b_{2}X_{2}+\ldots + b_{n}X_{n}$$

  上記の式で表せるYの標準偏差σYは、Xiの標準偏差σxiで以下のように求めることができる。ただし、Xの変数は互いに独立とする。

$$\sigma_{Y}^{2}=b_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}+b_{2}^{2}\sigma_{2}^{2}+\ldots +b_{n}^{2}\sigma_{n}^{2}$$

参考ページ

【測量士補 過去問解答】令和4年(2022)No.3

R5年度 測量士補 過去問解答

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