三角形ABCで∠ABCの角度を同じ条件で5回測定し、表の結果を得た。このとき、∠ABCの角度の最確値の標準偏差の値は、ア である。
また、表の測定値の最確値を∠ABCの角度とし、辺ABの辺長を3.0m、辺BCの辺長を8.0mとしたとき、辺CAの辺長は イ である。
上記、ア、イに入る数値を埋めよ。
測定値 |
59°59′57″ |
60°0′1″ |
59°59′59″ |
60°0′5″ |
59°59′58″ |
解答
① ∠ABCの最確値
60°0′0″を基準に、±で最確値を求める。
$$\frac{-3+1-1+5-2}{5}=0$$
よって、最確値は60°0′0″となる。
② ∠ABC1回測定の標準偏差
∠ABC1回測定の標準偏差は、最確値と観測値を用いて求めるため、n-1で割る必要がある。
$$\sigma=\sqrt{\frac{(-3)^{2}+1^{2}+(-1)^{2}+5^{2}+(-2)^{2}}{5-1}}=2\sqrt{2}=2.8$$
よって、∠ABC1回測定の標準偏差は、2.8″となる。
③ ∠ABCの最確値の標準偏差
∠ABCの最確値は、観測値li、観測回数nとすると、\(\frac{\Sigma{l_{i}}}{n}\)より、誤差伝搬の法則(※1)より
$$\sigma_{0}^{2}=n\times\frac{\sigma^{2}}{n^{2}}=\frac{\sigma^{2}}{n}$$
上記より、最確値の標準偏差は
$$\sigma_{0}=\sqrt{\frac{\Sigma{v_{i}}}{n(n-1)}}=\sqrt{\frac{(-3)^{2}+1^{2}+(-1)^{2}+5^{2}+(-2)^{2}}{5(5-1)}}=\sqrt{2}=1.4$$
以上より、最確値の標準偏差は、1.4″となる(ア 答え)
④ 辺CAの長さ
余弦定理より、
$$CA^{2}=3^{2}+8^{2}-2\times{3}\times{8}\times\cos{60°}=49$$
よって、CAの長さは7.0mとなる(イ 答え)
※1 誤差伝搬の式(変数が一次式の場合)
$$Y=F(Xn)=a+ b_{1}X_{1}+b_{2}X_{2}+\ldots + b_{n}X_{n}$$
上記の式で表せるYの標準偏差σYは、Xiの標準偏差σxiで以下のように求めることができる。ただし、Xの変数は互いに独立とする。
$$\sigma_{Y}^{2}=b_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}+b_{2}^{2}\sigma_{2}^{2}+\ldots +b_{n}^{2}\sigma_{n}^{2}$$
参考ページ
R5年度 測量士補 過去問解答
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