【測量士 過去問解答】令和元年(2019) No.14

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 新たに完成した宅地造成地の既成図を数値地形図データの修正に用いることとした。この既成図の図郭四隅の点A,B,C,Dには,図 1 に示す平面直角座標系(平成 14 年国土交通省告示第 9 号)における座標値が記載されていた。また,これをスキャナにより数値化し,コンピュータソフトウェアを用いてスクリーンモニター上で図郭の四隅の点を計測したところ,図 2 に示す座標値を得た。

この数値化された既成図を,式1 の変換式を使って補正し,数値地形図データとの位置合わせを行いたい。変換係数 a,b,c,d を最小二乗法により求めるための観測方程式を立式せよ。

ただし,変換式の X,Y は既成図の座標値,x,y はスクリーンモニター上で計測した座標値,a,b,c,d は変換係数とし,観測方程式の VAX,VBX,VCX,VDX は点 A,B,C,D 各点の平面直角座標系における X 座標の残差を,VAY,VBY,VCY,VDY は Y 座標の残差を示すものとする。

式1$$\begin{cases}X=-ax+by+c \\Y=bx+ay+d\end{cases}$$

解答

観測方程式を立てるところまでが、試験で問われる。
ここでは、答えを出す過程のみ簡潔に示す。

① 残差を考慮して変換式を立式する

観測方程式は、生じる残差が最小になるよう(最小二乗法により)未知量を決定する方程式である。式1を残差を考慮して、立式する。

$$\begin{cases}X+V_X=–ax+by+c \\Y+V_Y=bx+ay+d\end{cases}$$

② 上式を行列式で表す

問題では、観測方程式が行列式となっているため、上式を行列式で表します。

$$\begin{bmatrix}X \\ Y \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}V_X\\ V_Y \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -x & y & 1 & 0 \\ y & x & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\\c\\d\end{bmatrix}$$

③ 穴埋めの形に変形する

上記式を穴埋めの形に変形します。

$$\begin{bmatrix}V_X \\ V_Y \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -x & y & 1 & 0 \\ y & x & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\\c\\d\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}X \\ Y \end{bmatrix}$$

観測方程式の形になりました。試験問題では、点Aの変換を求める問題となっているので、ここでは、Aについて式を立式します。

$$\begin{bmatrix}V_{AX }\\ V_{AY}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -623 & 390 & 1 & 0 \\ 390 & 623 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\\c\\d\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}8750 \\ 14400 \end{bmatrix}$$

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