【測量士 過去問解答】令和2年(2020)No.4

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図に示すような三次元直交座標系において,ある点(x,y,z)をZ軸の周りに図 で示す方向にθ 回転させたときの点(x’ ,y’ ,z’ )の座標は,次の式で表される。

$$\begin{bmatrix}x’\\ y’ \\z’ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos{\theta} & -sin{\theta} & 0 \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\ y \\z\end{bmatrix}$$

点P(2.000,-1.000,3.000)をZ軸周りに図で示す方向に60°回転させたとき,移動後の点P’の座標は,式 より,点P’(1.866,1.232,3.000)となる。
この点P’(1.866,1.232,3.000)を,さらにX軸の周りに図 で示す方向に30°回転させたとき,移動後の点P”の座標は幾らか。Z軸周りの回転を表す式 を参考に,X軸周りの回転を表す式を立てて計算せよ。

解答・解説

 X軸周りに回転式を知っていれば、式に代入して終了だが、ほとんどの受験生は問題文より式を立式しなければならないと思います。ここでは、立式の考え方から解説します。

(1)Z軸周りの回転式をXY平面で考える

 Z軸周りの回転式は、Z座標を変化させないので、XY平面の回転式と同義となります。このときの点の移動を図示します。

上記より、Z軸周りの回転式は、XY平面において、「原点を中心に反時計回りに点を回転させる式」と言い換えることができます。

(2)X軸周りの回転式をYZ平面で考える

 (1)と同様に、X軸周りの回転式をYZ平面上で点の移動を図示します。

上記より、X軸周りの回転式は、YZ平面において、原点を中心に反時計回りに点を回転させる式」と言い換えることができます。

(3)上記(1)(2)を比較し、X軸周りの回転式を立式する。

上記(1)(2)の対応を比較し、X軸周りの回転式を立式します。(1)(2)の式の対応関係は以下の通り。

Z軸周りの回転式 X軸周りの回転式
X軸(X座標) Y軸(Y座標)に対応
Y軸(Y座標) Z軸(Z座標)に対応

よって、与えられた式に対応する座標を入れ替えることで、X軸周りの回転式が完成する。

(4)X軸周りの回転式でP’’の座標を計算する

$$\begin{bmatrix}y”\\ z” \\x” \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos{\theta} & -sin{\theta} & 0 \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}y\\ z \\x\end{bmatrix}$$

上記式にx=1.866、y=1.232、z=3.000、θ=30°を代入して、

$$\begin{cases}y”=1.232\cos{30°}-3.000\sin{30°} \\z”=1.232\sin{30°}+3.000\cos{30°} \\ x”=1.866\end{cases}$$

これを解いて、(x”, y”, z”)=(1.866, -0.433, 3.214)(答)

R2年度 測量士 過去問解答

No.1No.2No.3No.4No.5No.6No.7No.8
No.9No.10No.11No.12No.13No.14No.15No.16
No.17No.18No.19No.20No.21No.22No.23No.24
No.25No.26No.27No.28択一総評 記述総評  
2-B-22-C-32-D-2,35-A5-B-15-C-35-D-2

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