測量士補・測量士 過去問解答

【測量士 記述式解答】令和4年度(2022)2-D. 観測方程式の計算

 図に示す路線において,水準点 S,T,U から新点 M,N の標高を求めるために水準測量を実施し,表1に示す観測結果が得られた。次の各問に答えよ。ただし,水準点 S,T,U の標高及び新点 M,N の仮定標高は表2のとおりとする。
 また,図の矢印は観測方向を表す。なお,関数の値が必要な場合は,巻末の関数表を使用すること。

表1

路線 観測距離(km) 観測高低差(m)
2.0 -3.980
1.0 +0.703
4.0 +1.436
1.0 +3.012

表2

水準点 水準点S、T、Uの標高(m)
新点M、Nの仮定標高(m)
S 25.000
T 20.300
U 16.500
M 21.000
N 18.000

問D-1 .表3に示す路線①における観測高低差の残差 \(V_{SM}\) の観測方程式に倣い,路線②,③,④における観測高低差の残差\(V_{TM}\),\(V_{UN}\),\(V_{NM}\) の観測方程式をそれぞれ解答欄に記せ。ただし,新点 M,N の仮定標高に対する補正量は \(X_{M}\),\(X_{N}\) とする。

問D-2 .次の文は,新点 M,N の標高の最確値を求めるための計算過程を示したものである。 ア ~ コ に入る最も適当な数値を解答欄に記せ。ただし, ケ 及び コ は,m 単位で小数第 4 位を四捨五入し,小数第 3 位まで求めるものとする。

問D-3 .式 4 を解き,新点 M,N の標高の最確値を,m 単位で小数第 4 位を四捨五入し,小数第 3 位まで求め,それぞれ解答欄に記せ。

解答

D-1.解答

※ 観測方程式の立式
  (推定値)=(観測値)+(補正量)となる。

 本問題の場合、高低差の推定値が、各測点の標高差(表2の水準点標高、M・Nの真値から計算される標高差)、観測値が表1の観測高低差、補正量が高低差の残差\(V_{SM}\)etcとなる。また、表2で示されるM、Nの標高は仮定標高であるため、M・Nの真値はそれぞれ、\(M'=M+X_{M}\)、\(N'=N+X_{N}\)とする。上記の設定により、観測高低差の残差の観測方程式を立式すると、下記のようになる。

路線①: \((M+X_{M})-S=-3.980+V_{SM}\)⇒ \(V_{SM}=X_{M}-0.020\)
路線②:\((M+X_{M})-T=0.703+V_{TM}\)⇒ \(V_{TM}=X_{M}-0.003\)
路線③:\((N+X_{N})-U=1.436+V_{UN}\)⇒ \(V_{UN}=X_{N}+0.064\)
路線④:\((M+X_{M})-(N+X_{N})=3.012+V_{NM}\)⇒ \(V_{NM}=X_{M}-X_{N}-0.012\)

D-2.解答

 残差のベクトルを V,未知数(仮定標高に対する補正量)のベクトルを X,未知数の係数行列を A,定数項のベクトルを L とすると V = AX - L となる。問D- 1 で求めた観測方程式を用いて,行列で表記すると式 1 となる。

$$
\begin{pmatrix}
V_{SM} \\
V_{TM} \\
V_{UN} \\
V_{NM} \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1 & 0 \\
0 & 1 \\
1(ア) & -1(イ) \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
X_{M} \\
X_{N} \\
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
0.020\\
0.003 (ウ)\\
-0.064 (エ)\\
0.012 (オ)\\
\end{pmatrix}
$$
また,観測距離に応じた重量の行列を P とすると,式 2 で表される。
$$
P =
\begin{pmatrix}
0.5(カ) & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0.25(キ) & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1(ク) \\
\end{pmatrix}
$$

 正規方程式は,式3で表される。ここで,\(A^{T}\) は行列A の転置行列である。

$$(A^{T}PA)X = A^{T}PL$$

 式3に,式1及び式2で求めた A,L,P を用いると式4 となる。

$$A^{T}PA=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & -1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0.5& 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0.25 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1 & 0 \\
0 & 1 \\
1 & -1 \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2.5 & -1 \\
-1 & 1.25\\
\end{pmatrix}
$$

$$A^{T}PL=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & -1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0.5& 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0.25 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0.020\\
0.003 \\
-0.064 \\
0.012 \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0.025\\
-0.028\\
\end{pmatrix}
$$

 以上より
$$
\begin{cases} 
2.5X_{M} - X_{N} =0.025(ケ) \\
-X_{M} + 1.25X_{N}=-0.028(コ)
\end{cases}
$$

D-3.解答

 上記式4を解いて、\(X_{M}\),\(X_{N}\)を求める。

$$X_{M}=0.0016, X_{N}=-0.0211$$

 以上より、新点 M,N の標高の最確値をもとめると、

$$M^{'}=21.000+0.0016=21.0016\Rightarrow{21.002}, N^{'}=18.000-0.021\Rightarrow{17.979}$$

R4年度 測量士 過去問解答

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2-B-12-C-22-D5-B5-C-25-D-4

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