測量士補・測量士 過去問解答

【測量士 過去問解答】令和4年(2022)No.16

 次の文は,トータルステーション(以下「TS」という。)を用いて高低差を求める場合の精度(標準偏差)を計算した過程を示したものである。 ア ~ オ に入る数値を埋めよ。ただし,角度 1 ラジアンは,\(2\times10^{5}\)" とする

 TS を用いて,放射法により既知点 A から求点 B までの高低差を求めるものとする。既知点 Aから求点 B までの距離を D,高低角を i,高低差を Z とすると,位置関係は図のようになり,高低差 Z は式1で表される。

$$f(D, \theta)=D\sin{\theta}\cdots式1$$

 ここで,斜距離 D,高低角 i それぞれの観測値の標準偏差を\(\sigma_{D}\),\(\sigma_{\theta}\) とした場合の,高低差 Zの標準偏差 \(\sigma_{Z}\) を求めることにする。
 ただし,既知点Aから求点Bを観測した測定値は,斜距離の測定距離 \(D_{0}\) = 100.000 m,高低角 \(\theta_{0}\) = 30°00’ 00",使用した TS の距離測定の精度(標準偏差)は(\(5 + 5 \times10^{-6}D\))mm(D は mm 単位の測定距離),角度測定の精度(標準偏差)を 5" とする。
 また,TS による距離測定と角度測定は互いに影響を与えないものとし,その他の誤差は考えないものとする。
斜距離 D と高低角 i の観測が互いに独立であることから,両者の共分散は 0 となる。それぞれの観測値の分散を\(\sigma_{D}^{2}\),\(\sigma_{\theta}^{2}\) とした場合,高低差 Z の分散 \(\sigma_{Z}^{2}\) は,誤差伝播の法則から式2 で求められる。

$$\sigma_{Z}^{2}=\frac{\partial{f(D,\theta)}}{\partial{D}}^{2}\sigma_{D}^{2} + \frac{\partial{f(D,\theta)}}{\partial{\theta}}^{2}\sigma_{\theta}^{2} \cdots(2)$$

(なお、観測が互いに独立でない場合、共分散\(\sigma_{D\theta}\)を用いて…)

$$\sigma_{Z}^{2}=\frac{\partial{f(D,\theta)}}{\partial{D}}^{2}\sigma_{D}^{2} + \frac{\partial{f(D,\theta)}}{\partial{\theta}}^{2}\sigma_{\theta}^{2}+2\frac{\partial{f(D,\theta)}}{\partial{D}}\frac{\partial{f(D,\theta)}}{\partial{\theta}}\sigma_{D\theta}$$

\(D=D_{0}\),\(\theta=\theta_{0}\) のときの具体的な数値は,距離の単位を mm,角度の単位をラジアンとすると次のように計算できる。

解答

 \(\frac{\partial{f(D,\theta)}}{\partial{D}}=\sin{\theta}\)、\(\theta_{0}\)=30°00’ 00"より

 $$\frac{\partial{f(D,\theta)}}{\partial{D}}=\sin{30°}=0.5\cdotsア$$

 TSの距離測定の精度(標準偏差)が、(\(5 + 5 \times10^{-6}D\))mm(D は mm 単位の測定距離)、\(D_{0}=100,000\)mmより

$$\sigma_{D}=5+5\times10^{-6}\times100000=5.5\cdotsイ$$

 \(\frac{\partial{f(D,\theta)}}{\partial{\theta}}=D\cos{\theta}\)より

$$\frac{\partial{f(D,\theta)}}{\partial{\theta}}=100000\cos{30°}=86603\cdotsウ$$

 角度測定の精度(標準偏差)を 5" 、角度 1 ラジアンは,\(2\times10^{5}\)"より

$$\sigma_{\theta}=\frac{5}{2\times10^{5}}=0.000025\cdotsエ$$

 以上より

$$\sigma_{Z}^{2}=0.5^{2}\times5.5^{2}+86603^{2}\times0.000025^{2}=7.56+4.68=12.24$$

$$\sigma_{Z}=\sqrt{12.24}=3.498≒3.50\cdotsオ$$

R4年度 測量士 過去問解答

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No.25No.26No.27No.28択一総評 記述総評  
2-B-12-C-22-D5-B5-C-25-D-4

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