図のように,直線部分 BP ~ BC,円曲線始点 BC,円曲線終点 EC,点 O を中心とする円曲線部分 BC ~ EC 及び直線部分 EC ~ EP から構成される道路を計画した。
ところが,曲線中点 SP 付近に歴史的な埋設物が発見された。交点 IP,起点 BP,終点 EP の位置,交角 I は変更せず,円曲線始点 BC’ ,円曲線終点 EC’ ,点 SP から点 O 方向に 40 m 移動させた点 SP’ を曲線中点とする円曲線 BC’ ~ EC’ に設計変更したい。設計変更前の道路 BP ~
SP ~ EP の距離と,設計変更後の道路 BP ~ SP’ ~ EP との距離の差の絶対値は幾らか。
ただし,設計変更前の円曲線半径 R = 100 m,交角 I = 90°,直線部分 BP ~ BC 及び EC ~ EPの距離はそれぞれ 140 m,円周率 r = 3.142 とする。

解答
問題文条件を整理すると下記の通りになる。

(1)設計変更前(BP→BC→EC→EP)の長さを求める
条件より、設計変更前の路線長を求める。BC→ECの長さは
$$2\times100\times{\frac{90}{360}}\times{3.142}=157.1$$
よって、BP~EPまでの路線長は
$$140\times2+157.1=437.1$$
(2)設計変更後の円曲線の半径を求める
設計変更後は、外線長Eの長さが、+40mの円曲線へ変更される。外線長Eの公式\(E=R(\frac{1}{\cos{\theta}}-1)\)より
$$40=R\times(\frac{1}{\cos{45°}}-1)$$
Rについて解くと、R=96.6。よって、変更後のR'=100+96.6=196.6mとなる。
(3)設計変更後の円曲線長を求める
BC'~EC'までの路線長は、
$$2\times196.6\times{\frac{90}{360}}\times{3.142}=308.9$$
(4)BP~BC'、EC'~EPを求める
IA=90であるため、TL'=R=196.6。TL=100、BP~BC=140の条件より、
$$140ー(196.6-100)=43.4$$
(5)設計変更後の路線長を求め、差分を計算する
(3)(4)より設計変更後の路線長は
$$308.9+43.4\times2=395.7$$
(1)と上記の差分を計算すると
$$437.1-395.7=41.4$$
以上より、差分は41m(答)
参考ページ
R4年度 測量士 過去問解答
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