こんにちは、マックの味付けが少し変わった気がします。気のせいでしょうか?
先日紹介した土方カーブ式は、便利な公式ですが、それが「どのように導かれるか」あまり紹介されていないと思います。ただ、使う身としてはわかっておきたいことですよね。今日は、土方カーブ公式を導入する手順を紹介します。
土方カーブ公式については、こちらのページをご覧ください。
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【測量士・測量士補】土方カーブ式①:公式と利用方法
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1. 中央縦線Mの公式
まず、近似式を導入するにあたり、中央縦線Mの公式をおさらいします。中央縦線Mは、半径R、中心角Iを用いて以下のように求めることができます。

$$M=R-R\cos{\frac{I}{2}}=R(1-\cos{\frac{I}{2}})$$
$$M_{n}=R-R\cos{\frac{I}{2^{n}}}=R(1-\cos{\frac{I}{2^{n}}})$$
二つ目の等式は、中央縦線Mの一般解で、弦長を等分した回数をnとしています。
2. 使用する近似式
土方カーブ公式導入のために利用する近似式を紹介します。
① \(\cos{x}\)をマクローリン展開した形で表す
マクローリン展開は、無限回微分可能なf(x)で成立します。
マクローリン展開
$$f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)\frac{x^{2}}{2!}+f^{(3)}(0)\frac{x^{3}}{3!}+\cdots =\sum_{k=1}^{n} f^{(k)}\frac{x^{k}}{k!}$$
$$\cos{x}=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\cdots$$
② 角度(ラジアン)を弧長と半径で表す
弧度法の公式
$$I=\frac{L}{R}$$
なお、ここではLを弧長とする。
③ 弧長Lを弦長Cとみなす
角度Iが小さいと想定し、C ≒ L として扱います。
3. 土方カーブの導入
以上3つの近似法より、土方カーブの公式を求めてみます。
まず、上記①より、\(\cos{\frac{I}{2^{n}}}\)をマクローリン展開します。
$$\cos{\frac{I}{2^{n}}}=1-\frac{(\frac{I}{2^{n}})^{2}}{2!}+\frac{(\frac{I}{2^{n}})^{4}}{4!}-\cdots$$
ここで、第3項目以降は非常に微小な数であるため、無視します。よって、
$$\cos{\frac{I}{2^{n}}}=1-\frac{1}{2}\times{(\frac{I}{2^{n}})}^{2}$$
これを、中央縦線Mの一般解に代入すると
$$M=R(1-1+\frac{1}{2}\times{(\frac{I}{2^{n}})}^{2})=R\times{\frac{1}{2}}\times{(\frac{I}{2^{n}})}^{2}$$
ここで、②よりIを弧長Lと半径Rで表すと
$$M=R\times{\frac{1}{2}}\times{(\frac{L}{2^{n}R})}^{2}=\frac{L^{2}}{2^{(2n+1)}R}$$
最後に、③弧長を弦長で近似することにより
$$M=\frac{C^{2}}{2^{(2n+1)}R}$$
n=1のとき、\(M1=\frac{C^{2}}{8R}\)となり、土方カーブの公式が導かれます。また、nが1大きくなると、Mの値が1/4倍されることも上記の一般式より明らかになります。
4. 土方カーブ式の近似が有効な場合
上記より、土方カーブ式が有効な場合は、以下の時に限定されます。
- 中心角Iが大きくないとき⇒近似式①③の差が小さくなる(特に③)。
- 半径Rが大きくないとき⇒土方カーブ公式と中央縦線Mの差が小さくなる。
実際に、中心角Iと半径Rを変化させて、土方カーブ式より求まるMと実際値を比較してみます。
1)半径R=10固定、中心角Iを変化させる
中心角 I(°) | 半径 R | 弧長L | 弦長C | 中央縦線M | 近似式(1) | 近似式(2) |
15 | 10 | 2.618 | 2.611 | 0.086 | 0.086 | 0.085 |
30 | 10 | 5.236 | 5.176 | 0.341 | 0.343 | 0.335 |
45 | 10 | 7.854 | 7.654 | 0.761 | 0.771 | 0.732 |
60 | 10 | 10.472 | 10.000 | 1.340 | 1.371 | 1.250 |
75 | 10 | 13.090 | 12.175 | 2.066 | 2.142 | 1.853 |
90 | 10 | 15.708 | 14.142 | 2.929 | 3.084 | 2.500 |
近似式(1):\(M≒\frac{L^{2}}{8R}\)、近似式(2):\(M≒\frac{C^{2}}{8R}\)
※ 中央縦線Mとの差が2cm以上:オレンジ、中央縦線Mとの差が10cm以上:赤 で示す。
※ 中心角は°、それ以外はm単位で表す。
半径R=10のとき、中心角I=30°以下であれば誤差が1cm以内に収まります。交差点の巻き込み部を施工するには十分な近似です。それ以上の角度になると次第に差が大きくなっていき、近似式として利用するのが厳しくなってきます。
2)中心角I=30°固定、半径Rを変化させる。
中心角 I | 半径 R | 弧長L | 弦長C | 中央縦線M | 近似式(1) | 近似式(2) |
30 | 10 | 5.236 | 5.176 | 0.341 | 0.343 | 0.335 |
30 | 20 | 10.472 | 10.353 | 0.681 | 0.685 | 0.670 |
30 | 30 | 15.708 | 15.529 | 1.022 | 1.028 | 1.005 |
30 | 40 | 20.944 | 20.706 | 1.363 | 1.371 | 1.340 |
30 | 50 | 26.180 | 25.882 | 1.704 | 1.713 | 1.675 |
30 | 60 | 31.416 | 31.058 | 2.044 | 2.056 | 2.010 |
30 | 70 | 36.652 | 36.235 | 2.385 | 2.399 | 2.345 |
30 | 80 | 41.888 | 41.411 | 2.726 | 2.742 | 2.679 |
30 | 90 | 47.124 | 46.587 | 3.067 | 3.084 | 3.014 |
30 | 100 | 52.360 | 51.764 | 3.407 | 3.427 | 3.349 |
近似式(1):\(M≒\frac{L^{2}}{8R}\)、近似式(2):\(M≒\frac{C^{2}}{8R}\)
※ 中央縦線Mとの差が2cm以上:オレンジ、中央縦線Mとの差が10cm以上:赤 で示す。
※ 中心角は°、それ以外はm単位で表す。
1)の中心角の変化に比べて、誤差が大きくなりませんが、Rが大きくなるにつれて、その誤差は無視できなくなります。
5. まとめ
- 「土方カーブ式」は、①\(\cos{x}\)のマクローリン展開、②弧度法の公式、③弧長と弦長の近似により求まる。
- 「土方カーブ式」の一般解 \(M_{n}=\frac{C^{2}}{2^{(2n+1)}R}\)より、\(M_{n+1}=\frac{1}{4}M_{n}\)が導ける。
- 「土方カーブ式」が有効な時は、半径、中心角ともに小さいときに限定される。