測量士・測量士補 分野別解説

【測量士】令和3年(2021)2-D-2,3 観測方程式による平均計算を解いてみた

 こんにちは、管理人です。お盆いかがお過ごしでしょうか。

 本日は、令和3年(2021)2-D-2,3の続きとして、観測方程式による平均計算を解いてみました。3行3列の逆行列が絡むので、試験で問われることはほぼないと思いますが、考え方を理解しておくのは重要だと思います。

 本問の解説はこちらよりご覧ください。

【測量士 記述式解答】令和3年(2021)2-D-2,3 水準測量の平均計算

1. 令和3年 2-D 問題

甲県では、水準測量により、県内の地盤沈下地域における地盤変動量を経年的に調査している。今年度は、図に示す路線において、公共測量における1級水準測量を、電子レベルを用いて実施し、表の観測結果を得た。次の各問に答えよ。
 ただし、当該地域の基準日は 10 月1日であり、表の観測高低差は変動量補正を含む各種補正を行った後の結果である。
 また、地盤沈下が起きているのは、図に示す地域であり、水準点 B、C、D は地盤沈下地域に含まれている。一方、水準点 A、E 周辺は地盤が堅固で、地盤変動は生じていないものとする。

路線番号 観測路線 観測高低差 観測距離
(1) A→B -3.2978 m 2km
(2) B→E +13.3573 m 2km
(3) A→D -5.3635 m 3km
(4) D→E +15.4237 m 3km
(5) B→C -2.4757 m 2km
(6) C→D +0.4145 m 2km

2. 観測方程式の計算

各水準点の標高を Hi(i = A、B、…、E)、路線(j)(j = 1、2、…、6)における観測高低差を Δhj、観測高低差 Δhj の補正量を Vj とする。ただし、既知点 A、E の標高 \(H_{A}\) 、\(H_{E}\) は、それぞれ 30.0000 m、40.0000 m とする。このとき、路線両端の水準点間の標高差は、路線の観測高低差と等しくなるはずであるが、実際には観測値には誤差が含まれるため、観測値に適切な補正量を加えなければならない。そのため、路線(1)〜(6)における観測方程式V=AX-Lは以下のようになる。なお、補正量のベクトルV、未知標高X、未知数の係数行列A、観測量のベクトルLとする。

$$
\begin{pmatrix}
V_{1} \\
V_{2} \\
V_{3} \\
V_{4} \\
V_{5} \\
V_{6} \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
-1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & -1 \\
-1 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
H_{B}\\
H_{C} \\
H_{D} \\
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
26.7022\\
-26.6427\\
24.6365\\
-24.5763\\
-2.4757\\
0.4145\\
\end{pmatrix}
$$

観測距離に応じた重量の行列を P とすると、下記の行列式で表される。

$$
P =
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2}& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\
\end{pmatrix}
$$

正規方程式は,下記の式で表される。ここで,\(A^{T}\) は行列A の転置行列である。

$$(A^{T}PA)X = A^{T}PL$$

右辺、左辺それぞれを計算すると

$$A^{T}PA=
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2}& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
-1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & -1 \\
-1 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 1 \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & 0\\
-\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2}\\
0 & -\frac{1}{2} & \frac{7}{6}\\
\end{pmatrix}
$$

$$A^{T}PL=
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2}& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
26.7022\\
-26.6427\\
24.6365\\
-24.5763\\
-2.4757\\
0.4145\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
27.9103\\
-1.4451\\
16.6115\\
\end{pmatrix}
$$

以上より
$$
\begin{cases} 
\frac{3}{2}H_{B} - \frac{1}{2}H_{C} =27.9103\\
- \frac{1}{2}H_{B}+ H_{C} - \frac{1}{2}H_{D} =-1.4451\\
-\frac{1}{2}H_{C} + \frac{7}{6}H_{D}=16.6115
\end{cases}
$$

上記式を解いて

$$H_{B}=26.6717, H_{C}=24.1945, H_{D}=24.6075 $$

3. 標準偏差の算出

 上記2.より、それぞれの観測の補正量(残差)を求める。

$$
\begin{pmatrix}
V_{1} \\
V_{2} \\
V_{3} \\
V_{4} \\
V_{5} \\
V_{6} \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
-1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & -1 \\
-1 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
26.6717\\
24.1945\\
24.6075\\
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
26.7022\\
-26.6427\\
24.6365\\
-24.5763\\
-2.4757\\
0.4145\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-0.0305\\
-0.0290\\
-0.0290\\
-0.0312\\
-0.0015\\
-0.0015\\
\end{pmatrix}
$$

① 観測1kmあたりの標準偏差

 観測1kmあたりの標準偏差は、下記の式で求められる。

$$m_{0}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}p_{i}v_{i}^{2}}{n-m}}$$

 ここで、p:観測の重み、n:観測値の数、m:未知数の数とする。

 本問題で上記式を適用すると、

$$m_{0}=\sqrt{\frac{\frac{1}{2}\times30.5^{2}+\frac{1}{2}\times29.0^{2}+\frac{1}{3}\times29.0^{2}+\frac{1}{3}\times31.2^{2}+\frac{1}{2}\times1.5^{2}+\frac{1}{2}\times1.5^{2}}{6-3}}\times10^{-3}=22.3061\times10^{-3}$$

② 新点標高の標準偏差

 新点標高の分散共分散行列は、下記の通り求められる。

$$\Sigma_{X}=m_{0}^{2}(A^{T}PA)^{-1}$$

 ここで、\((A^{T}PA)^{-1}は、

$$(A^{T}PA)^{-1}=
\begin{pmatrix}
\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & 0\\
-\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2}\\
0 & -\frac{1}{2} & \frac{7}{6}\\
\end{pmatrix}^{-1}=
\begin{pmatrix}
\frac{11}{13} & \frac{7}{13} & \frac{3}{13}\\
\frac{7}{13} & \frac{21}{13} & \frac{9}{13}\\
\frac{3}{13} & \frac{9}{13} & \frac{15}{13}\\
\end{pmatrix}$$

 よって、新点B、C、Dの分散は対角部分が分散に該当するため

 $$\sigma_{B}=22.306\times\sqrt{\frac{11}{13}}\times10^{-3}=20.5184\times{10}^{-3}$$
$$\sigma_{C}=22.306\times\sqrt{\frac{21}{13}}\times10^{-3}=28.3503\times{10}^{-3}$$
$$\sigma_{D}=22.306\times\sqrt{\frac{15}{13}}\times10^{-3}=23.9604\times{10}^{-3}$$

 以上より、\(\sigma_{B}\)=20.519mm、\(\sigma_{C}\)=28.350mm、\(\sigma_{D}\)=23.960mmとなる。

4. 注意事項

 ・本問題の解答は公開されてません。理論、計算機を使用し、算出はしてみました。間違えなどがあれば教えていただければ幸いです。

 ・求めた標準偏差がおおよそ20mmであり、1級水準測量ではありえない精度です。実際、A⇒Eへの閉合も取れていません。「表の観測高低差は変動量補正を含む各種補正を行った後の結果」であることが影響しているのか、それとも問題の設定自体が誤っていたのかは定かでありません。なお、国土地理院より数値設定がおかしかった等の発表はありませんでした。

5. 参考図書

 下記の図書を参考に本記事を作成しました。参考にどうぞ。

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