【測量士　過去問解答】令和5年（2023）No.4

　図に示すような三次元直交座標系において、ある点（x, y, z）をz軸周りに図に示す方向にθzだけ回転させたときの点（x',y',z'）は次の式で表される。

$$\begin{bmatrix}x'\\ y' \\z' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos{\theta_z} & -\sin{\theta_z} & 0 \\ \sin{\theta_z} & \cos{\theta_z} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\ y \\z\end{bmatrix}$$

　式を参考に、点（x, y, z）をy軸周りに図に示す方向に30°回転させたとき、回転後の点（x", y", z"）を表す数式を求めよ。

解答・解説

　例年通り、XY平面上（Z軸）で反時計回りに座標を回転させる式が与えられています。これをもとに、XZ平面上（Y軸上）で反時計回りに座標を回転させる式を求め、30°回転させた回転後の点（x", y", z"）を求めます。

①　Y軸周りに回転させる行列式を求める

　θzの回転軸をxy平面に落とし込んだ時、下記図面の左のようになります。これと対応するようなθyをxz平面上で考えるとき、下図の右のようになります。

　よって、与えられた式のxに対応する箇所をzへ、ｙに対応する箇所をxへ替えればy軸周りに回転する式ができます。

　ここで、xy平面上で原点を中心に反時計回りに回転させる式が、与式を参考にして

$$\begin{bmatrix}x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos{\theta_z} & -\sin{\theta_z} \\ \sin{\theta_z} & \cos{\theta_z} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\ y \end{bmatrix}$$

　よって、zx平面上で原点を中心に反時計回りに回転させる式は、

$$\begin{bmatrix}z''\\ x'' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos{\theta_y} & -\sin{\theta_y} \\ \sin{\theta_y} & \cos{\theta_y} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}z\\ x \end{bmatrix}$$

となる。回転軸の座標を変化しないことを考慮し、これに加え、ｙ座標も加えると

\begin{cases}
x''= \cos{\theta_y}\cdot{x}+0\cdot{y}+\sin{\theta_y}\cdot{z} \\
y''=0\cdot{x}+1\cdot{y} +0\cdot{z} \\
z''=-\sin{\theta_y}\cdot{x}+0\cdot{y} +\cos{\theta_y}\cdot{z}&
\end{cases}

行列表示にして

$$\begin{bmatrix}x'’\\ y'' \\z'' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \cos{\theta_y} & 0 & \sin{\theta_y} \\ 0 & 1 & 0\\ -\sin{\theta_y} & 0 & \cos{\theta_y} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\ y \\z\end{bmatrix}$$

②　θy=30°を代入する

　θy=30°であるので、\(\sin{30°}=\frac{1}{2}\)、\(\cos{30°}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)であるから

$$\begin{bmatrix}x'’\\ y'' \\z'' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0\\ -\frac{1}{2} & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\ y \\z\end{bmatrix}$$

　選択肢にある形に整理すると

$$\begin{bmatrix}x'’\\ y'' \\z'' \end{bmatrix}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0\\ -1 & 0 & \sqrt{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\ y \\z\end{bmatrix}$$

過去問類題

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