【測量士　過去問解答】令和4年（2022）No.4

　図に示すような三次元直交座標系において，ある点（x，y，z）を z 軸のまわりに図に示す方向に fz だけ回転させたときの点（x’，y’，z’）は次の下式で表される。

$$\begin{bmatrix}x'\\ y' \\z' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos{\varepsilon_z} & -\sin{\varepsilon_z} & 0 \\ \sin{\varepsilon_z} & \cos{\varepsilon_z} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\ y \\z\end{bmatrix}$$

上式を参考に，点（x，y，z）を x 軸のまわりに図に示す方向に fx だけ回転させる行列 Rxと，y 軸のまわりに図に示す方向に fy だけ回転させる行列 Ry の組合せを答えよ。

　ただし，それぞれの回転後の点を（x"，y"，z"），（x’’’，y’’’，z’’’）とするとき，

$$\begin{bmatrix}x''\\ y'' \\z'' \end{bmatrix}=R_{x} \begin{bmatrix}x\\ y \\z\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}x'''\\ y''' \\z''' \end{bmatrix}=R_{y} \begin{bmatrix}x\\ y \\z\end{bmatrix}$$

が成り立つ。

解答

　3次元上で軸回転を考える場合、いったん2次元に落とし込んでから考えることが有効になります。

①　Rzの立式

　Rzの回転式は、XY平面上で点を反時計回りに回転させる式と同義になります。

　すなわち、下記の二つの式が同義となります。

$$\begin{bmatrix}x'\\ y' \\z' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos{\varepsilon_z} & -\sin{\varepsilon_z} & 0 \\ \sin{\varepsilon_z} & \cos{\varepsilon_z} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\ y \\z\end{bmatrix}$$

$$\begin{bmatrix}x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos{\varepsilon_z} & -\sin{\varepsilon_z} \\ \sin{\varepsilon_z} & \cos{\varepsilon_z} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\ y \end{bmatrix}$$

②　Rx、Ryの立式

　この性質を利用し、Rx、Ryを立式します。

　まず、Rx、Ryがどの平面上で点を回すか考えます。問題文の図を参考にして、Rx、Ryの回転を平面上で表すと、それぞれ

• Rx：YZ平面上で点を反時計回りさせる。
• Ry：ZX平面上で点を反時計回りさせる。

　よって、Rx、Ryを平面上の回転として立式すると

$$\begin{bmatrix}y''\\ z'' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos{\varepsilon_x} & -\sin{\varepsilon_x} \\ \sin{\varepsilon_x} & \cos{\varepsilon_x} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}y\\ z \end{bmatrix}$$

$$\begin{bmatrix}z''\\ x''' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos{\varepsilon_y} & -\sin{\varepsilon_y} \\ \sin{\varepsilon_y} & \cos{\varepsilon_y} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}z\\ x \end{bmatrix}$$

　となり、回転軸の座標は、変化しない。よって、上記の式に加え、回転軸の座標値を考慮すると

\begin{cases}
x''= 1\cdot{x}+0\cdot{y}+0\cdot{z} \\
y''=0\cdot{x}+\cos{\varepsilon_x}\cdot{y} -\sin{\varepsilon_x}\cdot{z} \\
z''=0\cdot{x}+\sin{\varepsilon_x}\cdot{y} +\cos{\varepsilon_x}\cdot{z}&
\end{cases}

\begin{cases}
x'''= \cos{\varepsilon_y}\cdot{x}+0\cdot{y}+\sin{\varepsilon_y}\cdot{z} \\
y'''=0\cdot{x}+1\cdot{y} +0\cdot{z} \\
z'''=-\sin{\varepsilon_y}\cdot{x}+0\cdot{y} +\cos{\varepsilon_y}\cdot{z}&
\end{cases}

　とそれぞれなるので、上記をそれぞれ行列表示すると

$$\begin{bmatrix}x'’\\ y'' \\z'' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos{\varepsilon_x} & -\sin{\varepsilon_x}\\ 0 & \sin{\varepsilon_x} & \cos{\varepsilon_x} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\ y \\z\end{bmatrix}$$

$$\begin{bmatrix}x'’'\\ y''' \\z''' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \cos{\varepsilon_y} & 0 & \sin{\varepsilon_y} \\ 0 & 1 & 0\\ -\sin{\varepsilon_y} & 0 & \cos{\varepsilon_y} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\ y \\z\end{bmatrix}$$

よって、Rx、Ryの行列式は

$$Rx=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos{\varepsilon_x} & -\sin{\varepsilon_x}\\ 0 & \sin{\varepsilon_x} & \cos{\varepsilon_x} \end{bmatrix}$$

$$Ry=\begin{bmatrix} \cos{\varepsilon_y} & 0 & \sin{\varepsilon_y} \\ 0 & 1 & 0\\ -\sin{\varepsilon_y} & 0 & \cos{\varepsilon_y} \end{bmatrix}$$

解答のポイント

　測量士試験において、x軸方向、y軸方向、z軸方向の回転式を覚えておく必要はありません。xy平面上で点を反時計回りに回転させる行列式のみ覚えておき、あとは解答で示したように類推していけばおのずと答えは導けると思います。

R4年度　測量士　過去問解答

測量士・測量士補コンテンツに戻る