こんにちは、年始をいかがお過ごしでしょうか。私は、カフェインを過剰摂取して頑張っております。
さて、今日は道路線形の単曲線各要素の求め方を解説していきます。2022年8月12日、再編集。
こんな疑問に答えます
- 単曲線の構成要素の名称は?
- 構成要素の関係式は?
- それぞれの関係式はどうやって求めるの?
- どうやって関係式を使うの?
1. 単曲線の構成要素と関係式

項目 | 要素名称(英語表記) | 関係式 |
円曲線始点 | BC(Beginning of Curve) | ー |
円曲線終点 | EC(End of Curve) | ー |
曲線中点 | SP(Secant Point) | ー |
交会点 | IP(Intersection Point) | |
交角と中心角 | IA(Intersection Angle) | $$① \angle{IA} = \angle{O}(=\theta)$$ |
曲線長 | CL(Curve Length) | $$② CL=R\times{I} (I=\pi\times{\frac{\theta}{180°}})$$ |
接線長 | TL(Tangent Length) | $$③ TL=R\times{\tan{\frac{\theta}{2}}}$$ |
外線長 | E(External secant) | $$④ E=R\times{(\sec{\frac{\theta}{2}}-1)}$$ |
中央縦線 | M(Middle ordinal) | $$⑤ M=R\times{(1-\cos{\frac{\theta}{2}})}$$ |
単曲線上の名称は、略称を元となる英語表記を意識して覚えましょう。頭文字を意識すると覚えやすいです。
関係式は、5つ挙げています。特によく使うのは①~③です。④、⑤については、たまに必要になりますが、下記のように三角関数で導けますので、暗記ではなく導き方を理解しておくのが大事だと思います。
2. 関係式の導き方
関係式を丸暗記することに越したことはないですが、導き方を理解しておけば、より長期的な暗記につながります。ここでは、①~⑤の関係式の導き方を解説します。
① 交角と中心角(IA、∠O)
下図で示した赤四角形に着目します。

BCとECは円と直線の接点であるから、∠BC=∠EC=90°
よって、赤三角形内の∠IPは、∠IP=360-(90+90+θ)=180ーθ となります。
IAは、180-∠IPより
IA = 180-(180ーθ)=θ
以上より、\(\angle{IA}=\angle{O}(=\theta)\)となります。
② 曲線長(CL)
円弧長の公式で求めることができます。rad表記で求めることもあるため、ラジアンの定義はしっかり理解する必要があります。
ラジアンは、「半径1の弧長で中心角を表す単位」と覚えておきましょう。ピンとこなければ、180(°)⇒π (ラジアン)とだけ覚えておき、その都度、度数⇒ラジアンへの変換を考えることがお勧めです。
③ 接線長(TL)

上図の赤三角形に着目します。I.PからOへ引いた線は∠I.Pの2等分線となり、赤三角形は直角三角形であるので、
$$\frac{TL}{R}=\tan{\frac{\theta}{2} }\Rightarrow{TL=R\tan{\frac{\theta}{2}}}$$
④ 外線長(E)

(3)と同様に、上記の赤三角形に着目します。I.P・Oの長さは、三角比より
$$I.P・O = R\sec{\frac{\theta}{2}} \quad{\ast{(\sec{\theta}=\frac{1}{\cos{\theta}})}}$$
よって、外線長(E)の長さは、
$$E=I.P・O - R=R\sec{\frac{\theta}{2}}-R = R(\sec{\frac{\theta}{2}}-1) $$
⑤ 中央縦線(M)

上記の赤三角形に着目します。R-Mの長さは、三角比より
$$R-M=R\cos{\frac{\theta}{2}} \Rightarrow{M=R(1-\cos{\frac{\theta}{2}})} $$
3. 公式の使用例
測量士補では、例年単曲線に関する問題が出題されます。2.で求めた公式を使って解いてみましょう。
例題(R4.No.25)
図に示すように,曲線半径 R = 420 m,交角 a = 90°で設置されている,点 O を中心とする円曲線から成る現在の道路(以下「現道路」という。)を改良し,点 O’ を中心とする円曲線から成る新しい道路(以下「新道路」という。)を建設することとなった。
新道路の交角 b = 60°としたとき,新道路 BC ~ EC’ の路線長は幾らか。ただし,新道路の起点 BC 及び交点 IP の位置は,現道路と変わらないものとし,円周率r = 3.14 とする。

4. まとめ
ココがポイント
- 単曲線の構成要素は、英語表記の一緒に覚える。
- 公式①~③は、理解、暗記必須。
- 公式②は、ラジアン=円周で角度と理解すること。
- 公式④、⑤は余力があれば覚える。または導けるようにする。