【測量士・測量士補】単曲線の性質②-各要素の求め方

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こんにちは、年始をいかがお過ごしでしょうか。私は、カフェインを過剰摂取して頑張っております。

さて、今日は道路線形の単曲線各要素の求め方を解説していきます。

単曲線を構成する要素

関係事項 要素名称 関係式
交角と中心角 IA(Intersection Angle) IA = ∠O(=θ)
曲線長 CL(Curve Length) CL=RI(I=π/180° (rad))
接線長 TL(Tangent Length) TL=Rtan(θ/2)
外線長 E(External secant) E=R(sec(θ/2)-1)
中央縦線 M(Middle ordinal) M=R(1-cos(θ/2))

各要素について、関係式の導き方を解説していきます。

(1)交角と中心角(IA、∠O)

上図の赤で示した四角形を考える。
今、BCとECは円と直線の接点であるから、∠BC=∠EC=90°

よって、残りの∠IPは、
∠IP=360-(90+90+θ)=180ーθ

IAは、180-∠IPより

IA = 180-(180ーθ)=θ (終)

(2)曲線長(CL)

円弧の円周長の公式で求めることができます。ただし、ラジアンをつかって求める機会もありますので、慣れておく必要があります。ラジアンに関しては以下のリンクを参照してください。

【測量士、測量士補】小学生でもわかるラジアンの解説

(3)接線長(TL)

上図の三角形に着目する。I.PからOへ引いた線は、∠I.Pの2等分線となるので
∠I.P-O-BC = 1/2 θ 

また、赤枠の三角形は直角三角形であるので、
TL/ R = tan(θ/2) ⇒ TL = Rtan(θ/2) (終)

(4)外線長(E)

(3)と同様に、上記の三角形に着目する。I.P-Oの長さは、三角比より
 I.P-O = Rsec(θ/2) (※ secθ = 1/cosθ)

よって、外線長(E)の長さは、
 E=I.P-O - R = Rsec(θ/2)-R = R(sec(θ/2)-1) (終)

(5)中央縦線(M)

上記の赤枠の三角形に着目する。R-Mの長さは、三角比より
 R-M = Rcos(θ/2) ⇒ M = R(1-cos(θ/2) (終)

まとめ

  • (1)~(3)は問題を解くときの必須事項。特に(1)はしっかりと覚えておくと大体の問題は解ける。
  • (2)は、ラジアン=円周で角度を表した単位と理解すること。
  • (4)(5)はほとんど使わないので、余力がある方は覚えましょう。
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