測量士・測量士補 分野別解説

【測量士・測量士補】単曲線の性質②-各要素の求め方

 こんにちは、年始をいかがお過ごしでしょうか。私は、カフェインを過剰摂取して頑張っております。

 さて、今日は道路線形の単曲線各要素の求め方を解説していきます。2022年8月12日、再編集。

こんな疑問に答えます

  • 単曲線の構成要素の名称は?
  • 構成要素の関係式は?
  • それぞれの関係式はどうやって求めるの?
  • どうやって関係式を使うの?

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1. 単曲線の構成要素と関係式

単曲線の構成要素

項目 要素名称(英語表記) 関係式
円曲線始点 BC(Beginning of Curve)
円曲線終点 EC(End of Curve)
曲線中点 SP(Secant Point)
交会点 IP(Intersection Point)  
交角と中心角 IA(Intersection Angle) $$① \angle{IA} = \angle{O}(=\theta)$$
曲線長 CL(Curve Length) $$② CL=R\times{I}
(I=\pi\times{\frac{\theta}{180°}})$$
接線長 TL(Tangent Length) $$③ TL=R\times{\tan{\frac{\theta}{2}}}$$
外線長 E(External secant) $$④ E=R\times{(\sec{\frac{\theta}{2}}-1)}$$
中央縦線 M(Middle ordinal) $$⑤ M=R\times{(1-\cos{\frac{\theta}{2}})}$$

 単曲線上の名称は、略称を元となる英語表記を意識して覚えましょう。頭文字を意識すると覚えやすいです。

 関係式は、5つ挙げています。特によく使うのは①~③です。④、⑤については、たまに必要になりますが、下記のように三角関数で導けますので、暗記ではなく導き方を理解しておくのが大事だと思います。

2. 関係式の導き方

 関係式を丸暗記することに越したことはないですが、導き方を理解しておけば、より長期的な暗記につながります。ここでは、①~⑤の関係式の導き方を解説します。

① 交角と中心角(IA、∠O)

 下図で示した赤四角形に着目します。

 BCとECは円と直線の接点であるから、∠BC=∠EC=90°

 よって、赤三角形内の∠IPは、∠IP=360-(90+90+θ)=180ーθ となります。

 IAは、180-∠IPより

 IA = 180-(180ーθ)=θ 

 以上より、\(\angle{IA}=\angle{O}(=\theta)\)となります。

② 曲線長(CL)

 円弧長の公式で求めることができます。rad表記で求めることもあるため、ラジアンの定義はしっかり理解する必要があります。

 ラジアンは、「半径1の弧長で中心角を表す単位」と覚えておきましょう。ピンとこなければ、180(°)⇒π (ラジアン)とだけ覚えておき、その都度、度数⇒ラジアンへの変換を考えることがお勧めです。

【測量士、測量士補】小学生でもわかるラジアンの解説

③ 接線長(TL)

 上図の赤三角形に着目します。I.PからOへ引いた線は∠I.Pの2等分線となり、赤三角形は直角三角形であるので、

$$\frac{TL}{R}=\tan{\frac{\theta}{2} }\Rightarrow{TL=R\tan{\frac{\theta}{2}}}$$

④ 外線長(E)

(3)と同様に、上記の赤三角形に着目します。I.P・Oの長さは、三角比より
 $$I.P・O = R\sec{\frac{\theta}{2}} \quad{\ast{(\sec{\theta}=\frac{1}{\cos{\theta}})}}$$

よって、外線長(E)の長さは、
 $$E=I.P・O - R=R\sec{\frac{\theta}{2}}-R = R(\sec{\frac{\theta}{2}}-1) $$

⑤ 中央縦線(M)

 上記の赤三角形に着目します。R-Mの長さは、三角比より
 $$R-M=R\cos{\frac{\theta}{2}} \Rightarrow{M=R(1-\cos{\frac{\theta}{2}})} $$

3. 公式の使用例

 測量士補では、例年単曲線に関する問題が出題されます。2.で求めた公式を使って解いてみましょう。

例題(R4.No.25)

 図に示すように,曲線半径 R = 420 m,交角 a = 90°で設置されている,点 O を中心とする円曲線から成る現在の道路(以下「現道路」という。)を改良し,点 O’ を中心とする円曲線から成る新しい道路(以下「新道路」という。)を建設することとなった。
 新道路の交角 b = 60°としたとき,新道路 BC ~ EC’ の路線長は幾らか。ただし,新道路の起点 BC 及び交点 IP の位置は,現道路と変わらないものとし,円周率r = 3.14 とする。

詳しくはコチラ

4. まとめ

ココがポイント

  • 単曲線の構成要素は、英語表記の一緒に覚える。
  • 公式①~③は、理解、暗記必須。
  • 公式②は、ラジアン=円周で角度と理解すること。
  • 公式④、⑤は余力があれば覚える。または導けるようにする。

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