【測量士、測量士補】 重み平均、重みの求め方

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こんばんは、本日は重み平均、また試験でよく出る重みの求め方をまとめていきたいと思います。先日、試験の延期発表がされましたが、やっていきましょう。

1. 重量平均の公式

重量平均は、以下の公式によって求めることができます。

$$l=\frac{\sum_{i=1}^{n}p_{i}l_{i}}{\sum_{i=1}^{n}p_{i}}=\frac{p_{1}l_{1}+p_{2}l_{2}+\dots+p_{n}l_{n}}{p_{1}+p_{2}+\dots+p_{n}}$$

\(l\):重量平均、\(p_{i}\):観測の重み \((i=1,2,3,4,\dots,n)\) 、\(l_{i}\):観測値 \((i=1,2,3,4,\dots,n)\)

公式で書くと、何をどう計算しているかさっぱりイメージが湧かないと思います。ひとまず、具体例で見ていくことにしましょう。

2. 重みづけのイメージ

例題:3クラス(1組、2組、3組)でテストを行い、それぞれのクラスの平均点が61点、78点、80点だった。1組20人、2組30人、3組25人のとき、1~3組、全体での平均点を求めよ。

中学生でも解ける問題ですね。以下のように、立式して多くの方は解いたのではないでしょうか?

$$\frac{20\times61+30\times78+25\times80}{20+30+25}=74.666$$

上記の式が、1で挙げた重量平均の公式そのものであることに、気づけるでしょうか?それぞれ対応を見てみます。

重みが各クラスの人数観測値が各クラスの平均点と対応しています。つまり、重みは観測回数や人数など、同じ値を積み重ねた回数というイメージを持っておくと、いざという時に重量計算の公式を導けると思います。

3. 試験でよく出る重みの求め方

重みのイメージをつけていただいたところで、試験で出やすい重みについてまとめていきたいと思います。ここについては、試験を受けるだけであれば、丸暗記するほうが楽です。重みの数学的、統計学的定義になると大変です・・・(いつか記事にはしてみたい)

(1)測定回数の異なる場合

重み代表みたいな項目です。例えば、TS、レベル等で想定回数が異なるときに、重量平均を求める問題がでます。

上でお話しした通り、測定回数=観測値の重みとなります。つまり、TS(A)で3回、TS(B)で2回、TS(C)で4回観測した場合の重みは、

$$A : B : C=3:2:4$$

となります。

(2)観測距離が異なる場合

こちらは試験用代表みたいな項目です(笑)。2年に1回くらい出題されています。例えば、異なる既知水準点から一つの新点を観測したときに、重量平均を求める問題が出ます(問題はこちら(R元年度No.13(補)))。

この場合は、距離に反比例し、重みが大きくなります。つまり、観測距離の逆数=観測値の重みとなります。

例えば、新点Pについて、Aからの観測距離が1km、Bからの観測距離が2km、Cからの観測距離が8kmのとき、それぞれの観測値の重みは

$$A:B:C=\frac{1}{1}:\frac{1}{2}:\frac{1}{8}=8:4:1$$

となります

(3)標準偏差が異なる場合

測量士のレベルになると、標準偏差が異なる場合の重量平均を問われます。本来であれば、誤差伝搬の式より、導く作業が必要となるのですが、覚えたほうが早いです。(こちらについても、いつか導き方を記事にしたいです)

標準偏差の逆数の2乗=観測値の重さとなります。例えば、Aが標準偏差1、Bが標準偏差2、Cが標準偏差4のとき、それぞれの観測値の重みは

$$A:B:C=\frac{1}{1^2}:\frac{1}{2^2}:\frac{1}{4^2}=16:4:1$$

となります。

4. まとめ

以下に、本記事の要点をまとめます。

  • 重みは、観測回数や人数など、同じ値を積み重ねた回数というイメージを持ちましょう。例題を覚えておくと自ずと公式を導けます。
  • 測量士補のレベルであれば、3.(1)測量回数、3.(2)観測距離の重みを求めることができれば、試験で対応することができます。
  • 測量士では3.(3)も問われます。覚えておくのが吉。
  • 誤差伝搬の式より、重みを求めることができるが、基本的には問題を解くために式を覚えておくほうがよい。

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