こんにちは、最近ブログへのアクセスが増えてうれしく思うこの頃です。測量士補・測量士のことを一通り書いたら、土質力学、実務のことについてちまちま書いていく予定です。(現在、全然書けていません。2023.1.16)
さて、本日は試験時に覚えておくと便利な三角関数の公式について、自分の認識の仕方(暗記の仕方)を書いていきたいと思います。
こんな疑問に答えます
- 三角関数の公式は何を覚えればいいの?
- 公式をどうやって覚えているの?
- 公式を使うポイントは?
1. 基本公式
$$(\sin{\theta})^{2}+(\cos{\theta})^{2}=1$$
$$\tan{\theta}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$$
上記が三角関数の公式の中で、最も基本的なものだと思います。ともに単位円を考えると公式を導くことができます。前者は、三平方の定理より、後者は、三角比の定義よりそれぞれ導くことができます。
2. 正弦定理

\(\frac{a}{\sin{A}}\)=\(\frac{b}{\sin{B}}\)=\(\frac{c}{\sin{C}}\)
① 角と向かい合う辺同士で立式する ② 分母にsinが来ると覚えましょう。三角形を描くとき、角と向かい合う辺を、同一の小文字で置くと、きれいに覚えられます。
正弦定理を利用する問題はこちら。
3. 余弦定理

$$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos{A}$$
① 2辺の長さとその間の角の大きさ(cos)を使用する。(=三角形の合同条件) ② 2次の展開式 \(a^{2}=(b-c)^{2} = b^{2}+c^{2}-2bc\)と似ていることを覚えておきましょう。②のbc項にcosを掛ければ、余弦定理の式が完成します。
余弦定理を利用する問題はこちら。
4. 加法定理
$$\sin{(\alpha\pm\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}\pm\cos{\alpha}\sin{\beta}$$
$$\cos{(\alpha\pm\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}\mp\sin{\alpha}\sin{\beta}$$
この覚え方ですが、高校の時代にアホだったので、sinの加法定理は(シ・コス±コス・シ)、cosの加法定理は、(コス・コス∓シ・シ)とふざけた覚え方をしてました(記事検索対策の都合上、cosの当て字、コスの間を一字省略しています。想像してみてください。笑)。この覚え方の紹介で加法定理マスターする方が少しでも増えるとうれしいです(笑)。ただし、sinとcosで±が逆になることを気を付けてください。
下記の問題では、加法定理を利用して数値を代入した後の手間を少なくしています。
(参考)2倍角の公式
$$\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$$
$$\cos{2\alpha}=(cos{\alpha})^{2}-(\sin{\alpha})^{2}$$
加法定理から2倍角の公式が導かれます。こちらも覚えておくと便利です。慣れないうちは、加法定理に戻って、毎回導いていれば自然と覚えます。下記の問題のように計算の手間を減らすことができます。
5. 三角形の面積

$$S=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}ab\sin{C}$$
最初の式は一般的な三角形の面積公式。2番目はh=bsinCに置き換えています。図を描けばわかりやすいですね。あまり使いどころはありません。
参考ページ
【測量士・測量士補 解説】三角関数(sinθ、cosθ)を感覚的に覚える方法。