公共測量におけるトータルステーションを用いた1級基準点測量において、図で示すように、既知点Aと新点Bとの愛大の距離および高低角の観測を行い、表の観測結果を得た。Dを斜距離、αAを既知点Aから新点B方向の高低角、αBを新点Bから既知点A方向の高低角、iA、fAを既知点Aの器械高及び目標高、iB、fBを新点Bの器械高及び目標高とするとき、新点Bの標高は幾らか。
ただし、既知点の標高は10.00mとし、Dは気象補正等必要な補正がすでに行われているものとする。

αA | 11°00′05″ |
αB | -10°59′55″ |
D | 1,000.000m |
iA, fA | 1,500m |
iB, fB | 1,600m |
解答
新点Bの標高は、両差Kを考慮すると下記の等式で求められる。
①正方向観測(既知点A→新点Bの観測):\(H_{B}=H_{A}+i_{A}+D\sin{\alpha_{A}}-f_{B}+K\)
②反方向観測(新点B→既知点Aの観測):\(H_{B}=H_{A}+f_{A}-D\sin{\alpha_{B}}-i_{B}-K\)
ここで、標高Bは①、②の平均で求められることから、iA=fA、iB=fBを考慮して
$$\frac{①+②}{2}=H_{A}+i_{A}+D\times\frac{\sin{\alpha_{A}}-\sin{\alpha_{B}}}{2}-f_{B}$$
和積の公式:\(\sin{\alpha_{A}}-\sin{\alpha_{B}}=2\cos{\frac{\alpha_{A}+\alpha_{B}}{2}}\sin{\frac{\alpha_{A}-\alpha_{B}}{2}}\)を利用して、上記等式を整理する。ここで、\(\cos{(\alpha_{A}+\alpha_{B})}=\cos{0°00′10″}\)、\(\sin{(\alpha_{A}-\alpha_{B})}=\sin{22°00′00″}\)より、
$$10+1.5+1000\times{\cos{0°00′05″}}\times{\sin{11°00′00″}}-1.6$$
cos0°00′05″≒1、sin11°00′00″=0.19081より、上記式に代入すると
$$10+1.5+1000\times{\cos{0°00′05″}}\times{\sin{11°00′00″}}-1.6=200.71$$
補足
和積の公式を使用した際、観測角αA、αBの差分が小さければ、cos(αA+αB)≒cos0°=1となるため、高低差計算では、下記のような近似を行い、計算を実施する。
$$\sin{\alpha_{A}}-\sin{\alpha_{B}}=\sin({\alpha_{A}-\alpha_{B}})$$
R5年度 測量士補 過去問解答
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