【測量士補 過去問解答】 平成29年度(2017) No.27

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地点 A,B,C で囲まれた三角形の土地の面積を算出するため,公共測量で設置された 4 級基準点から,トータルステーションを使用して測量を実施した。表 は,4 級基準点から三角形の頂点に当たる地点 A,B,C を測定した結果を示している。この土地の面積はいくらか。

地点 方向角 平面距離
A 30°00′00″ 30.000m
B 90°00′00″ 12.000m
C 300°00′00″ 20.000m

解答

問題文を図示すると、点A~Cは上図のような位置関係となる。求めるのは赤線で示した三角形の面積である。

このままでは、面積が求めずらいので4級基準点を原点(0,0)と定め、A~Cの座標を随時求める。sin、cosを用いてA~Cの座標を求める。

各座標が上図のように求まるので、計算していく。

A(30cos30°、30sin30°)
B(12cos90°、12sin90°)
C(20cos300°、20sin300°)=(20cos60°、-20sin60°)

とそれぞれ変換できる。

ここで座標法の公式を利用する。以下のように定められる。
$$S= \frac{1}{2}\times\sum_{i=1}^{n}X_i(Y_{i+1}-Y_{i-1})$$

X座標 Y座標 Yi+1-Yi-1 Xi(Yi+1-Yi-1)
A 30cos30° 30sin30° 12+20sin60°=29.32 761.76
B 12cos90° 12sin90 -20sin60°-30sin30° 0
C 20cos60° -20sin60° 30sin30°-12=3 30
      合計(1/2) 395.88

よって、三角形の面積は約396m2(答)

別解(座標法の公式を用いない方法)

A~Cの3点を通る四角形から、余分な三角形を引くことを考える。上図はA~Cの座標を整数値でラウンドする。

① 四角形の面積⇒32×26=832

② 三角形ア⇒1/2×16×32=256

③ 三角形イ⇒1/2×10×29=145

④ 三角形ウ⇒1/2×3×26=39

求める三角形の面積は、832-(256+145+39)=392。選択肢の中で最も近い値は396m2(答)

参考ページ

【測量士・測量士補】座標系の利便性
【測量士補・測量士】三角関数(sinθ,conθ)を感覚的に覚える方法
【測量士補・測量士】これだけは覚えておきたい。三角関数の公式集。
【測量士・測量士補】座標法公式の導き方・考え方

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