【測量士 過去問解答】令和3年(2021)No.15

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 図のように、高低差 Zを求めるために、トータルステーションを用いて、放射法により既知点Aから求点Bを観測した。

 次の文は、求めた高低差 Z の標準偏差を計算する過程を示したものである。 ア 〜ウ に入る語句を埋めよ。

解答

 求点 Bの高低差 Z は、既知点Aから求点Bの斜距離 D 及び高低角 θ を使うと、(1)で表
される。ただし、θ の単位はラジアンとする。

$$Z= f(D,\theta)= D\sin\theta \cdots(1)$$

 ここで、斜距離、亜高低角 θ それぞれの観測値の標準偏差を \(\sigma_{D}\)、\(\sigma_{\theta}\)とした場合の、高低差 Zの標準偏差\(\sigma_{Z}\)を求めることにする。

 斜距離Dと高低角θの観測が互いに独立であれば、それぞれの観測値の分散を \(\sigma_{D}^{2}\)、 \(\sigma_{\theta}^{2}\)とした場合、両者の共分散は 0(ア) となる。このとき、高低差 Z の分散\(\sigma_{Z}^{2}\)は、誤差伝播の法則から式(2)で求められる。

$$\sigma_{Z}^{2}=\frac{\partial{f(D,\theta)}}{\partial{D}}^{2}\sigma_{D}^{2} + \frac{\partial{f(D,\theta)}}{\partial{\theta}}^{2}\sigma_{\theta}^{2} \cdots(2)$$

(なお、観測が互いに独立でない場合、共分散\(\sigma_{D\theta}\)を用いて…)

$$\sigma_{Z}^{2}=\frac{\partial{f(D,\theta)}}{\partial{D}}^{2}\sigma_{D}^{2} + \frac{\partial{f(D,\theta)}}{\partial{\theta}}^{2}\sigma_{\theta}^{2}+2\frac{\partial{f(D,\theta)}}{\partial{D}}\frac{\partial{f(D,\theta)}}{\partial{\theta}}\sigma_{D\theta}$$

ここで、(1)を D 及び θ で偏微分すれば、

$$\frac{\partial{f(D,\theta)}}{\partial{D}}=\sin{\theta}(イ)$$ 
$$\frac{\partial{f(D,\theta)}}{\partial{\theta}}=D\cos{\theta}(ウ)$$

となる。

上記から、標準偏差 \(\sigma_{Z}\)は、下記のように求まる。

$$\sigma_{Z}=\sqrt{(\sin{\theta}(イ))^{2}+(D\cos{\theta}(ウ))^{2}}$$

解答のポイント

 本問は、例年出題されている誤差伝搬問題を易化したものである。例年は、誤差伝搬の公式を覚えてないと解けない問題が出題されるため、式(2)は覚えておく必要がある。

過去問類題

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No.25No.26No.27No.28択一総評 記述総評  
2-C-12-C-42-D-2,35-A-35-B5-C-15-D-3,4

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