図は、境界点Ａ、Ｂ、Ｃを順に直線で結ぶ境界線 ABC で区割りされた甲及び乙の土地を示しており、表 は、トータルステーションを用いて現地で角度及び距離を測定した結果である。
甲及び乙の土地の面積を変えずに、境界線 AP で区割りして整正するためには、CP 間の距離を幾らにすればよいか。
| 測定結果 | |
| S1 | 55.000m |
| S2 | 36.000m |
| α | 120°00′00″ |
| β | 135°00′00″ |
解答
土地整形の問題である。甲、乙の面積が整形前・後で変わらないため、△ABCと△APCの面積は等しくなる。それぞれの面積を求め、CPの長さを求める。ここでは、1.三角関数の性質から面積を求める方法、2.座標法から面積を方法を紹介する。
1. 三角関数の性質から面積を求める方法
① △ABCの面積を求める
上図より、△ABCの面積を求める。
$$\frac{1}{2}\times{55}\times{36\sin{60°}}=495\sqrt{3}$$
② △APCの面積を求める
上図のように補助線を引き、「AからCPへおろした垂線の長さ」を求める。上図より
$$36\sin{45°}+55\sin{75°}$$
CP＝Xとおき、△ACPの面積を表すと
$$\frac{1}{2}(36\sin{45°}+55\sin{75°})X$$
③ Xの値を求める。
△ABC=△ACPより、方程式を立て、Xを求める。ここで、sin45°＝0.70711、sin75°=0.96593、\(\sqrt{3}\)=1.73205として計算する。
$$\frac{1}{2}(36\sin{45°}+55\sin{75°})X=495\sqrt{3}$$
上記を解いて、X=21.820…、選択肢の中で最も近い値は、21.822m（答）
2. 座標法を用いる方法
下図にように、CPをX軸（P側を正の値）、CPに垂直な軸をY軸（A側を正の値）とする。C（0,0）、P（X,0）とおくと、A、Bの値は下記のように示される。
以上の座標をもとに、座標法により△ACPの面積を求める。なお、△ABCは、三角形の面積の公式より、\(495\sqrt{3}\)と求めてよいが、あえて座標法で求める方法も示す。
座標法は、下記の公式で表される。
$$S= \frac{1}{2}\times\sum_{i=1}^{n}X_i(Y_{i+1}-Y_{i-1})$$
①△ABCの面積
| 点 | X座標 | Y座標 | Yi+1 － Yi-1 | Xi(Yi+1 － Yi-1) |
| A | -55cos75°+36cos45° | 55sin75°+36sin45° | 36sin45° | 36sin45°（-55cos75°+36cos45°） |
| B | 36cos45° | 36sin45° | -(55sin75°+36sin45°) | -36cos45°（55sin75°+36sin45°） |
| C | 0 | 0 | 55sin75° | 0 |
| 合計（1/2） | -18×55×（sin45°cos75°+cos45°sin75°） |
加法定理より、sin45°cos75°＋cos45°sin75°=sin（45＋75°）=sin120°より、△ABCの面積は、
$$-18\times{55}\times{\sin{120°}}=-495\sqrt{3}$$
－を取って、△ABCの面積は\(495\sqrt{3}\)。
②△ACPの面積
| 点 | X座標 | Y座標 | Yi+1 － Yi-1 | Xi(Yi+1 － Yi-1) |
| A | -55cos75°+36cos45° | 55sin75°+36sin45° | 0 | 0 |
| C | 0 | 0 | -(55sin75°+36sin45°) | 0 |
| P | X | 0 | 55sin75°+36sin45° | X(55sin75°+36sin45°) |
| 合計（1/2） | 1/2X(55sin75°+36sin45°) |
①＝②となり、1.で示した方程式と同じになる。これを計算してX=21.821…
よって、最も選択肢の中で近い値は、21.822m（答）
参考ページ
【測量士・測量士補 解説】三角関数（sinθ、cosθ）を感覚的に覚える方法。
【測量士補・測量士】これだけは覚えておきたい。三角関数の公式集。
【測量士・測量士補】座標法公式の導き方・考え方
R3年度 測量士 過去問解答
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